اليوم: الثلاثاء 13 ابريل 2021 , الساعة: 2:31 م


اعلانات
محرك البحث


تكامل متعدد مقدمة

آخر تحديث منذ 2 ساعة و 6 دقيقة 1676 مشاهدة

اعلانات

عزيزي زائر الموقع تم إعداد وإختيار هذا الموضوع تكامل متعدد مقدمة فإن كان لديك ملاحظة او توجيه يمكنك مراسلتنا من خلال الخيارات الموجودة بالموضوع.. وكذلك يمكنك زيارة القسم وتصفح المواضيع المتنوعه... آخر تحديث للمعلومات بتاريخ اليوم 13/04/2021

مقدمة



كما هو الحال في التكامل المحدد لدالة موجبة في متغير واحد الذي يمثل مساحة المنطقة الواقعة بين منحنى الدالة والمحور السيني، كذلك فإن التكامل الثنائي لدالة موجبة في متغيرين يمثل حجم المنطقة الفاصلة بين السطح المعرف بالدالة (في النظام الديكارتي ثلاثي الأبعاد حيث f (x,y),) والمستوى المحتوي المجال لمجاله . (لاحظ أن نفس الحجم يمكن التوصل إليه باستخدام التكامل الثلاثي - تكامل دالة في ثلاث متغيرات- للدالة الثابتة < >f(x,y,z) 1, فوق المنطقة المذكورة سابقا بين السطح والمستوى). إذا كان هناك عدد أكبر من المتغيرات فان التكامل المتعدد سيؤدي إلى احجام ضخمة من الدوال المتعددة الأبعاد.



التكامل المتعدد لدالة f المعرفة في n متغير f(x_1,x_2,ldots,x_n), على مجال D يتم في الغالب تمثيله بتداخل عدة إشارات تكامل بالترتيب متعاكس في الحساب(الإشارة إلى أقصى اليسار تحسب آخراً التي تسبقها لليمين تحسب قبلها وهكذا)يتم إجراءها على الدالة وتعريفات المكاملات بترتيب مناسب (التعريف في أقصى اليمين يحسب آخراً وهكذا). مجال هذا التكامل يتم تمثيله إما رمزيا لكل مكامل على إشارة تكامل، أو غالبا يتم اختصاره بمتغير في أقصى يمين الإشارة التكاملية


int ldots mathbf D f(x_1,x_2,ldots,x_n) mathbf d x_1!ldotsmathbf d x_n

وبما أنه من المستحيل حساب المشتق العكسي لدالة في أكثر من متغير، فإن التكامل المتعدد الغير محدد لا وجود له. لذلك فإن كل التكاملات المتعددة هي تكاملات محددة.


التعريف الرياضي


افترض ان n عدد صحيح أكبر من 1. افترض مستطيلا نصف مفتوح في n بعداً(من الآن فصاعداً سنسميه ببساطة مستطيلا). بالنسبة لل مستوى n 2, والتكامل المتعدد هو مجرد تكامل ثنائي.

T (a_1,b_1) imes (a_2,b_2) imescdots imes (a_n,b_n)subset mathbb R^n

قم بتقسيم كل فترة (< >ai,bi) إلى عدد من الفترات الجزئية غير المتداخلة بحيث تكون كل منها مغلقة عند النهاية اليسرى ومفتوحة عند النهاية اليمنى. بالكتابة، يرمز لكل فترة جزيئة بالرمز < >Ii.عائلة المستطيلات الجرئية الناتجة ذات الصيغة


C I_1 imes I_2 imes cdots imes I_n

هي جزئية من T بمعنى أن المستطيلات الجزئية C هي مستطيلات غير متداخلة واتحادها يعطينا T.

بعد أي من المستطيلات الجزئية C هو-من التعريف- الطول الأكبر من الفترات التي حعلتنا نتحصل على C، وكذلك فإن بعد اي مجموعة معطاة جزئية من T معرف كأكبر بعد من أبعاد المستطيلات الجزئية في تلك المجموعة الجزئية.


افترض أن f T →R هي دالة معرفة على المستطيل T. اعتبر التجزيئ التالي


T C_1cup C_2 cup cdots cup C_m

من T المعرفة آنفاً. حيث m هي عدد صحيح موجب. مجموع ريمان هنا هو المجموع بالصورة



sum_ k 1 ^m f(P_k) m(C_k)

حيث، لكل k فان النقطة P_k تقع في النفطة C_k، و m(C_k) هو ناتج الأطوال من الفترات التي ناتجها الكارتيزي هو C_k


في هذه الحالة تسمى دالة f متكاملة ريمان إذا كانت النهاية



S lim_ delta o 0 sum_ k 1 ^m f(P_k) m(C_k)

معرفة أو موجودة. حيث ان النهاية تحسب لكل جزئيات T ذات البعد delta. إذا امكن تكامل f بريمان فان S تسمى تكامل ريمان ل f على T ويكتب



int_T !f(x),dx.

تكامل ريمان لدالة معرفة حول مجموعة ذات n بعدا يمكن تعريفها بتوسيع تلك الدالة إلى دالة معرفة على مستطيل نصف مفتوح قيمه تساوي الصفر خارج مجال الدالة الأصلية. إذن فان تكامل الدالة الأصلية على المجال الأصلي هي تكامل الدالة الموسعة على مجالها المستطيل، إذا وُجد.


ما يلي تكامل ريمان في n بعداً سوف يسمى تكاملا متعددا



الخصائص


التكامل المتعدد له العديد من الخصائص المشابة لخصائص تكامل الدوال في متغير واحد(الخطية، التجميع، الاطرادية، الخ). بالإضافة لذلك ،وكما في المتغير الواحد، يمكن استخدام التكامل المتعدد لايجاد متوسط الدالة على مجموعة معطاة. أي انه لأي مجموعة معطاة < >D âٹ† R< >n ودالة قابلة للتكامل < >f على < >D، القيمة المتوسطة ل < >f على مجالها يعطى بـ


ar f frac 1 m(D) int_D f(x), dx,

حيث (< >m(< >D هو نظرية القياس مقياس < >D



حالات خاصة


في حالة < >T âٹ† R2، فإن تكامل


ell iint_T f(x,y), dx, dy

هو تكامل ثنائي ل < >f على < >T. وإذا كانت < >T âٹ† R3 فان تكامل



ell iiint_T f(x,y,z), dx, dy, dz


يكون تكامل ثلاثي ل < >f على < >T.


لاحظ انه بالتحويل يكون هناك إشارتي تكامل للتكامل الثنائي وثلاث إشارات للتكامل الثلاثي، وهذا يعتبر مجرد تسهيل كتابي يكون عملي عندما نحسب التكامل المتعدد كتكامل متتابع iterated integral (كما سنبين لاحقاً في هذا المقال)


طرق للتكامل


حل المشكلات باستخدام التكامل المتعدد غالباً ما يتم عن طريق إيجاد طريقة لاختزال التكامل المتعدد ليصبح في هيئة سلسلة من التكاملات في متغير واحد تحل كل منها بصورة مباشرة.


الحل المباشر


أحياناً يمكن الحصول على نتيجة التكامل بدون حاجة للتعديل


الدوال الثابتة


في حالة الدالة الثابتة فإن النتيجة مباشرة، ببساطة نقوم بضرب المقياس بالدالة الثابتة < >c. إذا كانت < >c 1 وكانت متداخلة مع منطقة جزئية من R2 فإن الناتج هو مساحة المنطقة، في حين يكون الناتج هو حجم المنطقة في حالة R3


  • مثلاً



  • D (x,y) in mathbb R ^2 2 le x le 4 3 le y le 6 and f(x,y) 2,!




    لنكامل < >f على < >D بالنسبة ل < >x أولا




    int_3^6 int_2^4 2 dx, dy mbox area (D) cdot 2 (2 cdot 3) cdot 2 12.




    الحل باستخدام التماثل


    إذا وُجد في المجال تماثلٌ حول واحد من المحاور على الأقل، وكانت الدالة لها زوجية parity واحدة على الأقل بالنسبة لمتغير معين. في هذه الحالة تكون قيمة التكامل صفرا (مجموع القيم المتساوية والمتضادة صفر).



    من الكافي –في الدوال على R< >n – ان يكون المتغير التابع فردي مع محور التماثل.



  • مثال (1)


  • خذ < >f(< >x,  < >y) 2  sin   < >x  −  3< >y3  +  5




    و< >T < >x2  +  < >y2  ≤  1 مساحة التكامل (قرص ذو نصف قطر   1 يتركز عند نقطة أصل المحور شاملاً المحيط ).



    مستخدما خاصية الخطية يمكن تفكيك التكامل إلى ثلاثة أجزاء




    iint_T (2sin x - 3y^3 + 5) , dx , dy iint_T 2 sin x , dx , dy - iint_T 3y^3 , dx , dy + iint_T 5 , dx , dy





    2   sin   < >x' و 3y< >3 كلاهما دالة فردية دالتين فرديتين ومن الواضح كذلك ان قرص T< > متماثل حول محور x< > وكذلك محور y< >؛ لذلك فان القيمة الوحيدة التي سنحصل عليها في الإجابة النهائية لتكامل الدوال الثلاث هي حل الدالة الثابتة 5 لأن الدالتين الأخرتين تساوي صفرا.





  • مثال (2)

  • خد الدالة (f< >(x< >,  y< >,  z< >) x< >  exp(y< >2  +  z< >2


    ومنطقة التكامل هي كرة ذات نصف قطر 2 متركزة في نقطة أصل المحور T< > x< >2  +  y< >2  +  z< >2  ≤  4.


    الكرة متماثلة حول جميع المحاور الثلاثة، لكن يكفي ان نكاملها باعتبار محور x< > فقط لنجد أن التكامل يساوي صفرا؛ ذلك لأن الدالة فردية بالنسبة لذلك المتغير x< >.



    صيغ الاختزال


    صيغ الاختزال تعتمد على مبدأ المجال البسيط للتمكين من تفكيك التكامل المتعدد إلى عدة تكاملات في متغير واحد(وهي نفس عملية حسبان الاشتقاق الجزئي ).


    المجالات البسيطة على R2


    محور x




    اذا كان < >D مجال مقيس عمودي على محور < >x و f D longrightarrow mathbb R هي دالة مستمرة ؛ فإن (خ±(< >x و(خ²(< >x (بالتعريف في الفترة [< >a,  < >b]) هما دالتين اللتين تحددان < >D. إذن



    iint_T f(x,y) dx, dy int_a^b dx int_ alpha (x) ^ eta (x) f(x,y), dy.



    محور < >y




    اذا كان D< > مجال مقيس عمودي على محور y< > و f D longrightarrow mathbb R هي دالة مستمرة؛ فإن(خ±(y< > و(خ²(y< > (بالتعريف في الفترة [a< >,  b< >]) هما دالتين اللتين تحددان D< >. إذن



    iint_T f(x,y) dx, dy int_a^b dy int_ alpha (y) ^ eta (y) f(x,y), dx.



    مثال


    Es pio-formulediriduzione-r2.svg 160 مثال D هي منطقة التكامل بصيغ الاختزال


    اعتبر أن المنطقة D (x,y) x ge 0, y le 1, y ge x^2 (انظر الشكل المقابل). احسب
    iint_D (x+y) , dx , dy.

    هذا المجال عمودي على كلا المحورين x< >و y< >. لتطبيق صيغ الاختزال عليك ان تجد الدوال التي تحدد المجال وفترة تعريفه.



    في هذه الحالدة الدالتين هما


    alpha (x) x^2 ext and eta (x) 1,!


    بينما الفترة معطاة من تقاطع الدوال مع x< >    0، عليه فان الفترة هي [a< >,  b< >] [0,  1](جعلنا الوضع الأساسي باعتبار محور x< > لسهولة فهمها من الشكل المقابل). من الممكن الآن تطبيق الصيغة




    iint_D (x+y) , dx , dy int_0^1 dx int_ x^2 ^1 (x+y) , dy int_0^1 dx [xy + frac y^2 2
    ight]^1_ x^2





    (في البداية التكامل الثاني تم حسابه باعتبار ان x< > ثابت). كل ما يتبقى هو تطبيق عمليات تكاملية بسيطة




    int_0^1 [xy + frac y^2 2
    ight]^1_ x^2 , dx int_0^1 (x + frac 1 2 - x^3 - frac x^4 2
    ight) dx cdots frac 13 20 .





    إذا أردنا جعل الوضع الأساسي باعتبار لمحور y< >نقوم بالآتي




    int_0^1 dy int_0^ sqrt y (x+y) , dx.





    وسنحصل على نفس النتيجة



    Dominio-normalità r3 es pio.svg 160 مثال لمجال بسيط في R3 (مستوى-xy< >



    المجالات البسيطة على R3


    امتداد هذه الصيغ إلى التكاملات الثلاثية مشابه نوعاً ما

    T< > هو مجال عمودي على المستوى xy< > باعتبار الدوال (خ± (x< >,y< > و(خ²(x< >,y< >، إذن




    iiint_T f(x,y,z) dx, dy, dz iint_D dx, dy int_ alpha (x,y) ^ eta (x,y) f(x,y,z) , dz



    تغيير المتغيرات


    حدود التكامل غير سهلة التغيير عادة، (بدون normality أو مع صيغ معقدة للمكاملة)، نقوم بـ تغيير المتغيرات لنعيد صياغة التكامل في منطقة أسهل في التعامل، والتي يمكن وصفها بصيغ مماثلة. لعمل ذلك يجب جعل الدالة تتماشى مع الإحداثيات الجديدة.



    مثال (1-أ)




    الدالة هي f(x, y) (x-1)^2 +sqrt y

    إذا تبنينا هذا البديل x' x-1, y' y , ! لذلك x x' + 1, y y' ,!

    نحصل على الدالة الجديدة f_2(x,y) (x')^2 +sqrt y.





    • وبصورة مشابة للمجال لأنه لم يعد محدودا بالمتغيرات الاصلية التي تم تحويلها (x< > ,y< > في المثال).

    • التفاضلات(d(x< >و (d(y< > يتم تحويلها عبر محددة مصفوفة جاكوبي المصفوفة الجاكوبية


    المحتوية على الاشتقاقات الجزئية من التحويل والمتعلقة بالمتغير الجديد (على سبيل المثال التحويل التفاضلي في الإحداثيات القطبية).


    توجد ثلاثة أنواع من تغيير المتغيرات (واحد في R2 واثنان في R3)؛ لكن البديل المناسب يمكن إيجاده باستخدام نفس المبدأ بصورة أكثر عمومية.



    الإحداثيات القطبية


    Passaggio in coordinate polari.svg 270 التحويل من إحداثيات ديكارتية إلى إحداثيات قطبية

    في R2 إذا كان المجال له تماثل دائري وتوفرت في الدالة مواصفات معينة يمكننا حينها التحويل إلى احداثيات قطبية(انظر للمثال المقابل) مما يعني أن النقاط المبدئية(P(x,y< > في النظام الديكارتي تتحول إلى النقاط التي تمثلها في النظام القطبي مما يسمح بتغيير صورة المجال وتبسيط العملية.




    العلاقة الأساسية لعمل التحويل هي التالية


    f(x,y)
    ightarrow f(
    ho cos phi,
    ho sin phi).





    مثال (2-أ)



    الدالة هي f(x,y) x + y,!

    وبتطبيق التحويل نحصل على


    f(
    ho, phi)
    ho cos phi +
    ho sin phi
    ho (cos phi + sin phi).





    مثال (2-ب)



    الدالة هي f(x,y) x^2 + y^2,!

    في هذه الحالة لدينا


    f(
    ho, phi)
    ho^2 (cos^2 phi + sin^2 phi)
    ho^2,!





    باستخدام مبرهنة فيثاغورث يتم تحويل المجال بايجاد طول نصف القطر ومدى الزاوية المركزية لتعريف فترات دپو د† ابتداءً من x< > وy< >





    Es pio trasformazione dominio da cartesiano polare.svg 230 مثال لتحويل مجال من ديكارتي إلى قطبي.




    مثال (2-ج)



    المجال هو D x^2 + y^2 le 4,! وهو محيط ذو نصف قطر 2؛ من الواضح أن الزاوية المغطاة هي زاوية دائرة, إذن د† تتراوح بين 0 و 2د€, بينما يتراوح نصف القطر من 0 إلى 2




    مثال (2-د)



    المجال هو D x^2 + y^2 le 9, x^2 + y^2 ge 4, y ge 0 وهو القوس الدائري الواقع في الجزء الموجب من محور y< > (أنظر الشكل)، لاحظ ان د† تصف زاوية مستوى، بينما دپ تتراوح بين 2 و3. لذلك التحويل الناتج يكون المستطيل التالي







    T 2 le
    ho le 3, 0 le phi le pi . ,




    المحددة الجاكوبية لهذا التحويل هي


    frac partial (x,y) partial (
    ho, phi)


    egin vmatrix

    cos phi & -
    ho sin phi \

    sin phi &
    ho cos phi

    end vmatrix
    ho



    والتي تم التحصل عليها بادخال المشتقات الجزئية ل(x< > دپ cos(د† و(y< > دپ sin(د† في العمود الأول باعتبار دپ، وفي العمود الثاني باعتبار د†، لذا فإن التفاضلات dx  dy< > في هذا التحويل تصبح دپ d< >دپ d< >د†.



    ما ان تحول الدالة وتقيم المجال يصبح من الممكن أن تعرف الصيغة لتغيير المتغيرات في الإحداثيات القطبية



    iint_D f(x,y) dx, dy iint_T f(
    ho cos phi,
    ho sin phi)
    ho , d
    ho, d phi.



    لاحظ أن د† صالحة في الفترة [0, 2د€] بينما دپ والتي تمثل مقياس الطول لابد أن تكون موجبة القيمة.



    مثال (2-هـ)




    الدالة هي ƒ< >(x< >,  y< >) x< > والمجال هو نفس مجال المثال (2-د).



    من التحليل السابق ل D< > نعلم فترة دپ (بين 2 و 3) وفترة د† (بين 0 و 2د€).إذن لنقم بتغيير الدالة







    f(x,y) x longrightarrow f(
    ho,phi)
    ho cos phi.,





    أخيراً، لنطبق صيغ التكامل





    iint_D x , dx, dy iint_T
    ho cos phi
    ho , d
    ho, dphi.





    بتعريف الفترة يصبح لدينا





    int_0^pi int_2^3
    ho^2 cos phi d
    ho d phi int_0^pi cos phi d phi [ frac
    ho^3 3
    ight]_2^3 [ sin phi
    ight]_0^pi (9 - frac 8 3
    ight) 0.




    الإحداثيات الأسطوانية


    Cylindrical inates.svg 190 الإحداثيات الأسطوانية.

    في R3 التكامل على مجالات ذات قواعد دائرية يمكن ان يتم عن طريق التمرير في نظام إحداثي أسطواني الإحداثيات الأسطوانية ؛ تحويل الدالة يتم من خلال العلاقة التالية


    f(x,y,z)
    ightarrow f(
    ho cos phi,
    ho sin phi, z)

    يمكن تحويل المجال بيانياً لأن الاختلاف الوحيد يكون في شكل القاعدة، بينما الارتفاع يتبع شكل منطقة البداية.


    مثال(3-أ)



    المنطقة هي D x^2 + y^2 le 9, x^2 + y^2 ge 4, 0 le z le 5 (وهي الأنبوب الذي قاعدته هي الدائرة في مثال (2-د) والتي ارتفاعها 5)؛ إذا طُبق التحويل نتحصل على المنطقة T 2 le
    ho le 3, 0 le phi le pi, 0 le z le 5 (وهو متوازي المستطيلات الذي قاعدته المستطيل في مثال (2-د) ذو الارتفاع 5).



    ولأن العنصر z< > لا يتغير خلال التحويل فإن المشتقات dx dy dz< > تتفاوت كما في التمرير في الإحداثيات القطبية؛ لذلك يصبحون دپ dدپ dد† dz< >.



    أخيراً من الممكن تطبيق الصيغة النهائية للإحداثيات الأسطوانية



    iiint_D f(x,y,z) , dx, dy, dz iiint_T f(
    ho cos phi,
    ho sin phi, z)
    ho , d
    ho, dphi, dz.



    هذه الطريقة سهلة ومناسبة للمجالات الأسطوانية والمخروطية أو في المناطق التي يسهل فيها افراد فترة z< >، وحتى تحوبل القاعدة الدائرية والدالة.



    مثال(3-ب)



    الدالة هي f(x,y,z) x^2 + y^2 + z,!، ومجال التكامل هو هذه أسطوانة (هندسة رياضية) الأسطوانة D x^2 + y^2 le 9, -5 le z le 5




    تحويل D< > في إحداثيات أسطوانية هو الآتي







    T 0 le
    ho le 3, 0 le phi le 2 pi, -5 le z le 5 .





    بينما تصبح الدالة





    f(
    ho cos phi,
    ho sin phi, z)
    ho^2 + z,!





    أخيراً، نطبق صيغة التكامل





    iiint_D (x^2 + y^2 +z) , dx, dy, dz iiint_T (
    ho^2 + z)
    ho , d
    ho, dphi, dz





    بتعديل الصيغة نحصل على





    int_ -5 ^5 dz int_0^ 2 pi dphi int_0^3 (
    ho^3 +
    ho z), d
    ho 2 pi int_ -5 ^5 [ frac
    ho^4 4 + frac
    ho^2 z 2
    ight]_0^3 , dz






    2 pi int_ -5 ^5 (frac 81 4 + frac 9 2 z
    ight), dz cdots 405 pi.




    الإحداثيات الكروية


    Spherical inates (Colatitude, Longitude).svg 190 الإحداثيات الكروية.

    بعض المجالات في R3 لها تماثل دائري، لذلك فمن الممكن تحديد احداثيات كل نقاط منطقة التكامل بزاويتين ومسافة واحدة لذلك نستخدم التمرير في نظام إحداثي كروي إحداثيات كروية < >، ويتم تحويل الدالة بالعلاقة



    f(x,y,z) longrightarrow f(
    ho cos heta sin phi,
    ho sin heta sin phi,
    ho cos phi),!

    لاحظ أن النقاط الموجودة على محور x< > لا تمتلك مواصفات دقيقة في الإحداثيات الكروية، لذلك فقد تتراوح phi< > بين 0 ود€.



    من الواضح ان أفضل مجال تكاملي لهذا التمرير هو الكرة.


    مثال (4-أ)


    خذ المجال D x^2 + y^2 + z^2 le 16 (دائرة نصف قطرها 4 ومركزها نقطة الأصل)؛ بتطبيق التحويل نحصل على المنطقة T 0 le
    ho le 4, 0 le phi le pi, 0 le heta le 2 pi .

    محددة الجاكوبي لهذا التحويل هي التالية




    frac partial (x,y,z) partial (
    ho, heta, phi)



    egin vmatrix

    cos heta sin phi & -
    ho sin heta sin phi &
    ho cos heta cos phi \

    sin heta sin phi &
    ho cos heta sin phi &
    ho sin heta cos phi \

    cos phi & 0 & -
    ho sin phi

    end vmatrix
    ho^2 sin phi




    المشتقات dx dy dz< > تتحول إلى دپ2 sin(د†) d< >دپ d< >خ¸ d< >د†.






    أخيراً، نتحصل على صيغة التكامل النهائية





    iiint_D f(x,y,z) , dx, dy, dz iiint_T f(
    ho sin phi cos heta,
    ho sin phi sin heta,
    ho cos phi)
    ho^2 sin phi , d
    ho, d heta, dphi.





    يُفضل استعمال هذه الطريقة في حالة المجالات الدائرية و كذلك في حالة الدوال التي يمكن تبسيطها بسهولة -باستخدام العلاقة المثلثية الأساسية الأولى - موسع في R3 (الرجاء انظر مثال (4-ب))؛ يفضل في بعض الحالات الأخرى استخدام الإحداثيات الإسطوانية (انظر مثال 4-جـ).





    مثال (4-ب)



    D< > هي نفس المنطقة في مثال (4-أ) وf(x,y,z) x^2 + y^2 + z^2,! هي الدالة التي نرغب في مكاملتها.






    تحويلها سهل جدا





    f(
    ho sin phi cos heta,
    ho sin phi sin heta,
    ho cos phi)
    ho^2,,





    بينمانعرف فترة المنطقة T< > الناتجة عن تحويل D< >







    (0 le
    ho le 4, 0 le phi le pi, 0 le heta le 2 pi).,





    نبدأ إذن بتطبيق صيغة التكامل





    iiint_D (x^2 + y^2 +z^2) , dx, dy, dz iiint_T
    ho^2
    ho^2 sin heta , d
    ho, d heta, dphi,





    وبالتبسيط نحصل على





    iiint_T
    ho^4 sin heta , d
    ho, d heta, dphi int_0^ pi sin phi ,dphi int_0^4
    ho^4 d
    ho int_0^ 2 pi d heta 2 pi int_0^ pi sin phi [ frac
    ho^5 5
    ight]_0^4 , d phi






    2 pi [ frac
    ho^5 5
    ight]_0^4 [- cos phi
    ight]_0^ pi 4 pi cdot frac 1024 5 frac 4096 pi 5 .




    مثال (4-جـ)



    المجال هو الكرة التي مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 3a< > (D x^2 + y^2 + z^2 le 9a^2 ,!) وf(x,y,z) x^2 + y^2,! هي دالة المراد مكاملتها.






    بالنظر للمجال يبدو أنه من المناسب القيام بالتمرير إلى إحداثيات كروية، في الحقيقة، من الواضح أن فترات المتغيرات التي تحدد المنطقة الجديدة T< > هي







    0 le
    ho le 3a, 0 le phi le 2 pi, 0 le heta le pi.,





    ولكن، بتطبيق التحويل نحصل على





    f(x,y,z) x^2 + y^2 longrightarrow
    ho^2 sin^2 heta cos^2 phi +
    ho^2 sin^2 heta sin^2 phi
    ho^2 sin^2 heta.





    بتطبيق صيغة التكامل نحصل على





    iiint_T
    ho^2 sin^2 heta
    ho^2 sin heta , d
    ho, d heta, dphi iiint_T
    ho^4 sin^3 heta , d
    ho, d heta, dphi





    والذي يصعب حله، هذه المسألة يتم حلها بالتمرير إلى احداثيات أسطوانية ،و تصبح فترات T< > الجديدة هي







    0 le
    ho le 3a, 0 le phi le 2 pi, - sqrt 9a^2 -
    ho^2 le z le sqrt 9a^2 -
    ho^2





    تم التحصل على الفترة z< > بشق الكرة إلى نصفين ببساطة عن طريق حل المتباينة في صيغة D< > (وبعدها مباشرة تحويل x2 + y2< > إلى دپ2< >). الدالة الجديدة تصبح أذن دپ2< >. بتطبيق صيغة التكامل







    iiint_T
    ho^2
    ho d
    ho d phi dz.





    نحصل بعدها على





    int_0^ 2 pi dphi int_0^ 3a
    ho^3 d
    ho int_ - sqrt 9a^2 -
    ho^2 ^ sqrt 9 a^2 -
    ho^2 , dz 2 pi int_0^ 3a 2
    ho^3 sqrt 9 a^2 -
    ho^2 , d
    ho.





    الآن نطبق التحويل





    9 a^2 -
    ho^2 t,! longrightarrow dt -2
    ho, d
    ho longrightarrow d
    ho frac d t - 2
    ho ,!





    (الفترات الجديدة تصبح 0, 3a longrightarrow 9 a^2, 0). نحصل على





    - 2 pi int_ 9 a^2 ^ 0
    ho^2 sqrt t , dt





    ولأن
    ho^2 9 a^2 - t,!، نحصل على





    -2 pi int_ 9 a^2 ^0 (9 a^2 - t) sqrt t , dt,





    بعد قلب حدود التكامل وضرب الأطراف داخل القوسين، يمكن تفكيك التكامل إلى جزئين يُحلان مباشرة.





    2 pi [ int 0^ 9 a^2 9 a^2 sqrt t , dt - int 0^ 9 a^2 t sqrt t , dt
    ight] 2 pi [9 a^2 frac 2 3 t^ frac 3 2 - frac 2 5 t^ frac 5 2
    ight]_0^ 9 a^2






    2 cdot 27 pi a^5 (6 - frac 2 5 ) 54 pi frac 28 5 a^5 frac 1512 pi 5 a^5.





    الفضل في إمكانية اختزال التكامل الثلاثي لآخر أسهل في متغير واحد يعود لطريقة التمرير إلى إحداثيات أسطوانية



    أمثلة


    التكامل الثنائي


    لنفترض أننا نرغب في مكاملة دالة في عدة متغيرات f< > خلال منطقة A< >




    A (x,y) in mathbb R ^2 11 le x le 14 7 le y le 10 وf(x,y) x^2 + 4y,!




    لهذه الحالة نكون التكامل الثنائي



    int_7^ 10 int_ 11 ^ 14 (x^2 + 4y) dx, dy




    يتوجه النظر إلى التكامل الداخلي أولاً والذي نكامله باعتبار x< >، يجب اجراء هذا التكامل قبل مكاملة الدالة بالنسبة لy< >. لاحظ أننا في البدء نعتبر y< > ثابتاً حيث أنها ليست متغير التكامل .








    egin

    int_ 11 ^ 14 (x^2 + 4y) dx & (frac 1 3 x^3 + 4yx
    ight)Big _ x 11 ^ x 14 \

    & frac 1 3 (14)^3 + 4y(14) - frac 1 3 (11)^3 - 4y(11) \

    & 471 + 12y \

    end



    بعد ذلك نكامل بالنسبة ل y< >








    egin

    int_ 7 ^ 10 (471 + 12y) dy & (471y + 6y^2)ig _ y 7 ^ y 10 \

    & 471(10) + 6(10)^2 - 471(7) - 6(7)^2 \

    & 1719 \

    end



    الحجوم


    حجم متوازي المستطيلات ذو الأضلاع 4×6×5 نتحصل عليه بطريقتين

  • التكامل الثنائي



  • iint_D 5 dx, dy


    للدالة 5 (f< >(x,< >y محسوبة في المنطقة < >D من مستوى < >xy الذي يمثل قاعدة متوازي المستطيلات




    iiint_mathrm parallelepiped 1 , dx, dy, dz




  • التكامل الثلاثي



  • iiint_mathrm parallelepiped 1 , dx, dy, dz


    للدالة الثابتة 1 محسوبةً على متوازي المستطيلات نفسه.



    حساب الحجوم


    بفضل الطرق المفصلة أعلاه يمكن تبيين قيمة الحجم لبعض الأجسام

  • أسطوانة (هندسة رياضية) الأسطوانة اعتبر أن المجال هو القاعدة الدائرية ذات نصف قطر < >R، والدالة ثابتة بالارتفاع < >h. يمكن كتابة ذلك في إحداثيات قطبية كالآتي



  • mathrm Volume int_0^ 2 pi d phi int_0^R h
    ho d
    ho h 2 pi [frac
    ho^2 2
    ight]_0^R pi R^2 h





    < >التحقق الحجم مساحة القاعدة* الارتفاع pi R^2 cdot h




  • الكرة وهو توضيح جاهز لتطبيق التمرير في احداثيات كروية للدالة الثابتة المُكامَلة < >1 في الكرة ذات نفس نصف القطر < >R



  • mathrm Volume int_0^ 2 pi , d phi int_0^ pi sin heta, d heta int_0^R
    ho^2, d
    ho 2 pi int_0^ pi sin heta frac R^3 3 , d heta frac 2 3 pi R^3 [- cos heta]_0^ pi frac 4 3 pi R^3.



  • رباعي السطوح ( هرم مثلثي ذو 4 وجوه) حجم رباعي سطوح ذو رأس عند نقطة الأصل يمكن حسابهعن طريق صيغ الاختزال آخذين بالاعتبار ،كمثال، ال normality على المستوى < >xy ولمحور < >x ومثل الدالة الثابتة < >1.




  • mathrm Volume int_0^ell dx int_0^ ell-x , dy int_0^ ell-x-y , dz int_0^ell dx int_0^ ell-x (ell - x - y), dy






    int_0^ell (ell^2 - 2ell x + x^2 - frac (ell-x)^2 2 ), dx ell^3 - ell ell^2 + frac ell^3 3 - [frac ell^2 2 - ell x + frac x^2 2
    ight]_0^ell






    frac ell^3 3 - frac ell^3 6 frac ell^3 6





    < >التحقق الحجم مساحة القاعدة * الارتفاع /3 frac ell^2 2 cdot ell/3 frac ell^3 6 .





    Dominio improprio.svg 140 مثال لمجال معتل.


    التكامل المعتل المتعدد


    في حالة المجالات غير المحدودة أو الدوال غير المحدودة بالقرب من حدود المجال، نقوم باستعمال التكامل المعتل الثنائي أو التكامل المعتل الثلاثي.



    التكامل المعتل المتعدد والتكامل المتتابع



    حسب نظرية فوبيني Fubini's theorm


    int_ A imes B f(x,y) ,d(x,y) تفاضل تكامل

    Areabetweentwographs.svg التكامل كمساحة بين منحنيين.

    Volume under surface.png التكامل الثنائي كحجم تحت سطح z x^2-y^2. منطقة المستطيل الواقع أسفل الجسم هو مجال التكامل بينما السطح هو بياني الدالة ذات متغيرين التي يتم تكاملها.

    التكامل المتعدد هو أحد أنواع التكامل المحدد الموسع ليشمل الدوال المعرفة في أكثر من متغير مثل f(x,y), أوf(x,y,z),

    شاركنا رأيك

     
    اعلانات
    التعليقات

    لم يعلق احد حتى الآن .. كن اول من يعلق بالضغط هنا

    أقسام الموقع المتنوعة أوجدت لخدمة الزائر ليسهل عليه تصفح الموقع بسلاسة وأخذ المعلومات تصفح هذا الموضوع تكامل متعدد مقدمة ويمكنك مراسلتنا في حال الملاحظات او التعديل او الإضافة او طلب حذف الموضوع ...آخر تعديل اليوم 13/04/2021



    اخر الموضوعات زيارة
    موضوعات مختارة