سبب التسمية

تعود تسميتها بالزائدية لأنها دوال مشتقة من دالة القطع الزائد ولأن لها خواص شبيهة جدا بالدوال المثلثية كما سيتبين لاحقا.

كما نعلم من الدائرة, تمثل النقاط cos(t), sin(t), دائرة الوحدة (نصف قطرها 1), بالمثل فإن النقاط cosh(t), sinh(t), تشكل النصف الأيمن من القطع الزائد.
تأخذ الدوال الزائدية قيما حقيقية إذا كانت وسائطها حقيقية الزاوية الزائدية . في التحليل المركب, هي ببساطة دالة نسبية دوال نسبية أسية. تم تقديم هذه الدوال من قبل الرياضي السويسري جوهان هنرك لامبرت.

تعبيرات جبرية قياسية

sinh cosh tanh.svg 256 sinh, cosh وtanh
csch sech coth.svg 256 csch, sech وcoth

الدوال المثلثية هي

الجيب الزائدي

sinh x frac e^x - e^ -x 2 -
m i sin
m i x !

جيب التمام الزائدي

cosh x frac e^ x + e^ -x 2 cos
m i x !

الظل الزائدي

anh x frac sinh x cosh x frac frac e^x - e^ -x 2 frac e^x + e^ -x 2 frac e^x - e^ -x e^x + e^ -x frac e^ 2x - 1 e^ 2x + 1 -
m i an
m i x !

ظل التمام الزائدي

coth x frac cosh x sinh x frac frac e^x + e^ -x 2 frac e^x - e^ -x 2 frac e^x + e^ -x e^x - e^ -x frac e^ 2x + 1 e^ 2x - 1
m i cot
m i x !

القاطع الزائدي

operatorname sech x frac 1 cosh x frac 2 e^x + e^ -x sec
m i x !

قاطع التمام الزائدي

operatorname csch x frac 1 sinh x frac 2 e^x - e^ -x
m i ,csc,
m i x !

حيث
m i , وحدة تخيلية معرفة بأنها
m i ^2 -1,.

يمكن وضع الدوال الزائدية بالصور المعقدة كما في صيغة إيولر .

لاحظ أنه من التعريف,
m sinh ^2 x, تعني (
m sinh x)^2,, ليس
m sinh (
m sinh x), وبالمثل للداول الزائدية الأخرى والأسات الموجبة.

علاقات مفيدة

sinh(-x) -sinh x,!

cosh(-x) cosh x,!

وعليه

anh(-x) - anh x,!

coth(-x) -coth x,!

operatorname sech (-x) operatorname sech , x,!

operatorname csch (-x) -operatorname csch , x,!

يمكن ملاحظة أن cosh x, و
m sech x, هي دالة زوجية دوال زوجية والأخريات هي دالة فردية دوال فردية .

operatorname arcsech x operatorname arccosh frac 1 x

operatorname arccsch x operatorname arcsinh frac 1 x

operatorname arccoth x operatorname arctanh frac 1 x

الجيب الزائدي جيب التمام الزائدي يحقق المتطابقة

cosh^2 x - sinh^2 x 1,

وهي مشابهة ل متطابقة فيثاغورث .


الظل الزائدي هو حل لمعادلة غير خطية هي مسألة القيمة الحدية

frac 1 2 f< > f^3 - f qquad qquad f(0) f'(infty) 0

دوال المعكوس في صور لوغاريتمية

operatorname arcsinh x ln (x+sqrt x^ 2 +1
ight)

operatorname arccosh x ln (x+sqrt x^ 2 -1
ight) xge 1

operatorname arctanh x frac 1 2 ln frac 1+x 1-x x
ight

Hyperbolic functions.svg 296 شعاع مار بنقطة الأصل ويقطع القطع الزائد script x^2 - y^2 1 في النقاط script (cosh,a,,sinh,a), حيث script a تكون المساحة بين الشعاع, وانعكاسه بالنسبه للمحور script x, والقطع الزائد (إنظر HyperbolicAnimation صورة متحركة للمقارنة مع الدوال المثلثية .

الدوال الزائدية أو الدوال الزائدة في الرياضيات هي تلك الدوال المماثلة للدوال المثلثية أو الدائرية.


تشكل الدوال الاتية الأساس في الدوال الزائدية

• دالة الجيب الزائدي, sinh أو sh


• جيب التمام الزائدي, cosh أو ch


• الظل الزائدي, tanh أو th

كما يوجد لهذه الدوال معكوس كما في المثلثية

• معكوس الجيب الزائدي, asinh


• معكوس جيب التمام الزائدي, acosh


• معكوس الظل الزائدي, atanh